테일러 급수 | Raccoon Log

\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &=\sum_{n=0}^{\infty}x^n \\ &=1+x+x^2+x^3+\cdots,\qquad |x|<1 \end{aligned}

\begin{aligned} \ln(1+x) &=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} \\ &=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,\qquad-1<x\le1 \end{aligned}

\begin{aligned} e^x &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\ &=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots, \qquad R=\infty \end{aligned}

\begin{aligned} \sin x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots, \qquad R=\infty \end{aligned}

\begin{aligned} \cos x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots, \qquad R=\infty \end{aligned}

\begin{aligned} (1+x)^\alpha &=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n \\ &=1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 +\cdots, \qquad |x|<1 \end{aligned}

\begin{aligned} \arctan x &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots, \qquad |x|\le 1 \end{aligned}

\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n = a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots

위와 같은 꼴의 급수를 멱급수라고 한다.

따라서 테일러 급수는 멱급수의 특수한 형태이다.

위와 같은 멱급수에 대해서 $|x-c|<R$ 에서 절대 수렴하고 $|x-c|>R$ 에서 발산할 때, $R$ 을 수렴반경이라고 한다.

경계 $|x-c|=R$ 에서의 수렴 여부는 별도로 판단한다.

특히 멱급수

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n

의 계수 $a_n$ 에 비율판정법 또는 근판정법을 적용하여 얻은 값을 $L$ 이라 하면,

R=\frac{1}{L}

이다.

급수 $\sum a_n$ 에 대하여

L=\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

이라 하면,

\begin{aligned} L<1 &\Rightarrow \text{절대수렴} \\ L>1 &\Rightarrow \text{발산} \\ L=1 &\Rightarrow \text{판정 불가능} \end{aligned}

급수 $\sum a_n$ 에 대하여

L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

이 존재한다고 하자. 그러면,

\begin{aligned} L<1 &\Rightarrow \text{절대수렴} \\ L>1 &\Rightarrow \text{발산} \\ L=1 &\Rightarrow \text{판정 불가능} \end{aligned}